Use o Teorema 6.3.3 para encontrar o comprimento do arco da curva y^3 = 8 * x^2 do ponto (1, 2) ao ponto (27, 18) .

Passo 1

O exercício pede para acharmos o comprimento da curva y 3 = 8 x 2 de y = 2 até y = 18 usando a integração na variação y , isto é, a expressão da pelo teorema 6.3.3:

L = ∫ 2 18 1 + x ' 2   d x

O primeiro passo é isolar x :

x 2 = 1 8 y 3 ⇒ x = 1 2 2 y 3 / 2

Agora derivamos x com relação a y :

x ' = 3 2 ⋅ 1 2 2 y 1 2 = 3 4 2 y

Portanto,

1 + x ' 2 = 1 + 9 32 y = 32 + 9 y 32

Desta forma,

L = 1 4 2 ∫ 2 18 32 + 9 y   d y

Passo 2

Vamos fazer a substituição t = 32 + 9 y . Assim, d t = 9   d y :

L = 1 36 2 ∫ 50 194 t   d t

Assim,

L = 1 36 2   2 3 t 3 2 50 194 = 1 54 2 194 194 - 50 50

Assim, temos que

L = 1 27 2 97 2 97 - 25 2 25

Logo,

L = 1 27 97 97 - 125

Note que é a mesma resposta do exercício 8, como deve ser!

Resposta

1 27 97 97 - 125

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