Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.

∫ 1 4 1 x   d x

Passo 1

E aí! como vai?

A integral que ele nos pede para calcular é a seguinte:

∫ 1 4 1 x   d x

Pra isso temos que usar a parte 2 do TFC.

Parece complicado?

A parte dois do Teorema Fundamental do Cálculo diz que se temos uma integral definida da função f x , podemos responder como:

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F x é a antiderivada de f x , ou seja:

f x = F ' x

Pra isso temos que encontrar a antiderivada de f x = 1 x .

Podemos reescrever f na forma potencial para aplicar a regra da potência.

f x a x n → F x = a x n + 1 n + 1 + C

Quando   n   ≠ - 1

Bora começar!

Passo 2

Vamos começar calculando a antiderivada de f x ...

Primeiro reescrevemos f :

f x = 1 x = x - 1 2

Calculando a antiderivada.

f x = x - 1 2 → F x = x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C

F x = x 1 2 1 2 + C = 2 x 1 2 + C

F x = 2 x + C

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora que temos a antiderivada de f , vamos aplicar a parte 2 do TFC.

∫ a b f x d x = F b - F a

∫ 1 4 1 x   d x = 2 4 + C - 2 1 + C

∫ 1 4 1 x   d x = 2 · 2 + C - 2 - C

Perceba que as contantes C sempre vão se cancelar! Por isso não aparece no resultado de uma integral definida.

∫ 1 4 1 x   d x = 2

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ 1 4 1 x   d x = 2

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