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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.3 - Ex. 32

Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.

∫ 0 1 3 + x x   d x

Passo 1

E aí! tudo certinho?

A integral que ele nos pede para calcular é a seguinte:

∫ 0 1 3 + x x   d x

Pra isso temos que usar a parte 2 o TFC.

Lembra como fazemos isso?

A parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo diz que uma integral definida em uma região a , b de uma função f x é dada por:

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F x é a antiderivada de f x .

Sacou?

Nesse caso, como nossa função f é uma função radical, mas podemos reescrevê-la como uma função potencial para facilitar nossos cálculos e assim temos que lembrar do seguinte:

f x = a x n → F x = a x n + 1 n + 1 + C

Quando   n   ≠ - 1 .

Show? Bora começar!

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função f ...

f x = 3 + x x

f x = 3 + x 3 2

Agora temos que calcular a antiderivada de f pela regrinha que vimos no passo 1:

f x = 3 + x 3 2 → F x = 3 x 0 + 1 0 + 1 + x 3 2 + 1 3 2 + 1 + C

F x = 3 x + 2 5 x 5 2 + C

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Com a antiderivada de f calculada, podemos aplicar a parte 2 do TFC.

∫ a b f x d x = F b - F a

∫ 0 1 3 + x x   d x = 3 1 + 2 5 1 5 2 + C - 3 0 + 2 5 0 5 2 + C

∫ 0 1 3 + x x   d x = 3 + 2 5 + C - C

Perceba que sempre as contantes C vão se cancelar quando temos uma integral definida.

∫ 0 1 3 + x x   d x = 17 5

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ 0 1 3 + x x   d x = 17 5

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