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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 51

Calcule

int_0^1 (1)/(1 + x) d x

Passo 1

Vamos fazer a substituição:

u = 1 + x -> d u = d x

u = 1 + (1) = 2 e u = 1 + (0) = 1

int_1^2 (1)/(u) d u

Passo 2

Agora vamos usar que

(d (ln u))/(d u) = (1)/(u) -> int (1)/(u) d u = ln u

Então:

int_1^2 (1)/(u) d u = [ ln u ] (2)/(1)

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (u) uma primitiva de f (u) , então:

int_a^b f (u) d x = F (b) - F (a)

Assim: [ln u] (2)/(1) = ln 2 - ln 1

Lembrado que ln 1 = 0

ln 2 - ln 1 = ln 2

Resposta

int_0^1 (1)/(1 + x) d x = ln 2

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