Use a parte 1 do teorema fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função:

y = ∫ 0 t g x t + t   d t

Passo 1

Fala aí, pessoal!

Queremos calcular a derivada da função:

y = ∫ 0 t g x t + t   d t

Pra isso, vamos usar o teorema fundamental do cálculo!

Tem ideia de como fazemos isso?

A parte 1 do TFC nos diz que

d d x ∫ a x f t d t = f x

Como nosso limite de integração é uma função, temos que aplicar a regra da cadeia.

Vamos tentar aplicar aqui no nosso caso. A gente vai usar a propriedade de que podemos decompor a derivada assim, ó:

d y d x = d y d u d u d x

E então a nossa vai ser assim:

d g x d x = d d x ∫ 0 x f t d t = d d u ∫ 0 x f t d t d u d x  

Veja só!

Passo 2

Então bora lá! Vamos substituir o limite de integração por u :

u = t g x

d u d x = sec 2 ⁡ x

Então vamos escrever do jeito esperto que vimos no passo 1 :

d y d x = d d u ∫ 0 u t + t   d t d u d x  

Pela parte 1 do TFC:

d d u ∫ 0 u t + t   d t = u + u

Aí é só substituir!

d y d x = u + u · sec 2 ⁡ x

Voltando pra t g x , chegamos na resposta!

d y d x = t g x + t g x · sec 2 ⁡ x

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

d y d x = t g x + t g x · sec 2 ⁡ x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados