Use a parte 1 do Teorema fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.

G x = ∫ x 1 cos ⁡ t d t  

Passo 1

E aí, galera! Tudo certinho?

Nessa questão, queremos encontrar a derivada da função

G x = ∫ x 1 cos ⁡ t d t  

usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

🤔 Mas você se lembra o que diz a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo?

Basicamente, ela fala que sempre que uma função G é obtida integrando uma função f , então a derivada da função G é a função f !

Mas precisamos tomar cuidado! De forma precisa, temos que se

G x =   ∫ a x f t d t ,

então G ' x = f x .

⚠️Perceba que isso não é exatamente o que temos na função G , pois temos uma diferença nos limites de integração. No caso do Teorema, o limite superior é x e o inferior é constante, enquanto que no exercício ocorre o contrário.

Para lidarmos com isso, vamos definir uma função conveniente que irá nos ajudar no cálculo da derivada que estamos procurando, beleza?

🛠️Antes disso, vamos relembrar de uma propriedade que irá nos ajudar bastante.

  • Para integrais definidas em um intervalo [ a ,   b ] , vale que:

∫ a b f t d t =   - ∫ b a f t d t .

Então, vamos ver como resolvemos essa questão?

Passo 2

Perceba que como

G x = ∫ x 1 cos ⁡ t d t ,  

então definindo a função

f x =   ∫ 1 x cos ⁡ t d t  

e usando a Parte 1 de Teorema Fundamental, vamos ter que a derivada f ' é dada por

f ' x = cos ⁡ t ,

certo?

Mas pelas propriedade de integrais definidas, temos que

f x =   ∫ 1 x cos ⁡ t d t =   - ∫ x 1 cos ⁡ t d t   = - G x .  

Isso quer dizer que a derivada G ' será igual a derivada da função - f !

Ou seja,

G ' x =   - f ' x = - cos ⁡ t .

Resposta

A derivada da função

G x = ∫ x 1 cos ⁡ t d t  

é

G ' x =   - cos ⁡ t .

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