Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.3 - Ex. 12
Use a parte 1 do Teorema fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
E aí, galera! Tudo certinho?
Nessa questão, queremos encontrar a derivada da função
usando a Parte do Teorema Fundamental do Cálculo.
🤔 Mas você se lembra o que diz a Parte do Teorema Fundamental do Cálculo?
Basicamente, ela fala que sempre que uma função é obtida integrando uma função , então a derivada da função é a função
Mas precisamos tomar cuidado! De forma precisa, temos que se
então
⚠️Perceba que isso não é exatamente o que temos na função , pois temos uma diferença nos limites de integração. No caso do Teorema, o limite superior é e o inferior é constante, enquanto que no exercício ocorre o contrário.
Para lidarmos com isso, vamos definir uma função conveniente que irá nos ajudar no cálculo da derivada que estamos procurando, beleza?
🛠️Antes disso, vamos relembrar de uma propriedade que irá nos ajudar bastante.
- Para integrais definidas em um intervalo , vale que:
Então, vamos ver como resolvemos essa questão?
Passo 2
Perceba que como
então definindo a função
e usando a Parte de Teorema Fundamental, vamos ter que a derivada é dada por
certo?
Mas pelas propriedade de integrais definidas, temos que
Isso quer dizer que a derivada será igual a derivada da função !
Ou seja,
Resposta
A derivada da função
é