Use a parte 1 do Teorema fundamental do Calculo para encontrar a derivada da função

G x = ∫ x 1 cos ⁡ t d t  

Passo 1

Nessa questão temos a seguinte função:

G x = ∫ x 1 cos ⁡ t d t  

E queremos encontrar

G ' ( x )

Sabemos, da Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, que se

g x = ∫ a x f t   d t

Então

g ' x = f ( x )

No entanto, a integral dada não está com os limites de integração da forma como o Teorema Fundamental do Cálculo pede.

Para alterar os limites de integração da função do enunciado basta colocarmos o sinal de – na frente e trocarmos os limites

∫ a b f x d x = ∫ b a - f x d x

Passo 2

Invertendo os limites de integração da nossa integral, teremos:

G x = ∫ x 1 cos ⁡ t d t   = ∫ 1 x - cos ⁡ t d t  

Agora sim, podemos usar o teorema fundamental do Cálculo.

Temos que se:

g x = ∫ a x f t   d t

Então,

g ' x = f ( x )

No nosso caso, temos:

, então

G x = ∫ 1 x - cos ⁡ t d t

Com isso, vemos que

f t = - cos ⁡ t

Então,

G ' x = f x = - cos ⁡ x

Resposta

G ' x = - cos ⁡ x

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