19 – 44 Calcule a integral.

21. ∫ 0 2 4 5 t 3 - 3 4 t 2 + 2 5 t d t

Passo 1

Faala ae!! Beleza? Bora resolver essa integral!

Nós temos que resolver:

∫ 0 2 4 5 t 3 - 3 4 t 2 + 2 5 t d t

Sabemos que a integral de um polinômio é dada por:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Mas como aqui temos uma integral definida, não vamos usar essa constante C !

Vamos substituir os limites de integração fazendo:

∫ a b f x d x = F x b a = F b - F ( a )

Além disso, vamos usar também a propriedade que diz que a integral da soma é a soma de integrais:

∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

E a propriedade que a constante pode sair da integral:

∫ K f x d x = K ∫ f x d x

Passo 2

Temos a seguinte integral:

∫ 0 2 4 5 t 3 - 3 4 t 2 + 2 5 t d t

Podemos tirar as constantes e separar em 3 integrais:

4 5 ∫ 0 2 t 3 d t - 3 4 ∫ 0 2 t 2 d t + 2 5 ∫ 0 2 t d t

Essa é uma integral de polinômio, só precisamos aumentar em um o expoente e colocar o expoente dividindo:

4 5 ⋅ t 4 4 - 3 4 ⋅ t 3 3 + 2 5 ⋅ t 2 2 0 2

Simplificando a expressão:

t 4 5 - t 3 4 + t 2 5 0 2

Substituindo os limites de integração:

2 4 5 - 2 3 4 + 2 2 5 - 0 4 5 - 0 3 4 + 0 2 5

Agora é só fazer as contas:

16 5 - 8 4 + 4 5 - 0 =

16 5 - 2 + 4 5

Fazendo o MMC:

16 - 10 + 4 5 = 10 5

= 2

Esse é o valor da integral.

∫ 0 2 4 5 t 3 - 3 4 t 2 + 2 5 t d t = 2

Resposta

∫ 0 2 4 5 t 3 - 3 4 t 2 + 2 5 t d t = 2

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