Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Calculo para encontrar a derivada da função.

g x = ∫ 1 x ln ⁡ 1 + t 2 d t

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom.. queremos encontrar a derivada g ' x da seguinte função:

g x = ∫ 1 x ln ⁡ 1 + t 2 d t

Tem ideia de como fazemos isso?

Para isso, vamos achar g ' x pela Parte 1 do Teorema Fundamental que nos diz que:

g x = ∫ a x f t d t             a ≤ x ≤ b

É contínua em a , b e derivável em a , b e g ' x = f x .

Como a integral é o inverso da derivada, a derivada da integral de uma função f é a própria função f .

Vamos lá!! 😉

Passo 2

Olhando para a expressão dada a f t é igual a

f t = ln ⁡ ( 1 + t 2 )

E como o limite de integração da nossa função é x , assim como esta no teorema, a gente sabe que a derivada fica:

g ' x = f x

g ' x = ln ⁡ ( 1 + x 2 )

Entendeu direitinho?? Responde Aí! 😉

Resposta

g ' x = ln ⁡ ( 1 + x 2 )

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