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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.11 - Ex. 30

int_0^2 √ 2 x ( sqrt(x) + √ 5 ) d x

Passo 1

Uma dica muito boa para integrais que tem fatores elevados a 1/2 é fazer uma substituição chamando o fator com a raíz de uma letra, por exemplo:

u = sqrt(x) ⟹ u^2 = x

Derivando com relação a x a equação acima

(d u)/(d x) = (d ( sqrt(x) ))/(d x) = (1)/(2 √ x) ⟹ d u = (1)/(2 sqrt(x)) d x ⟹ d x = 2 u d u

Passo 2

Substituindo na nossa integral

int_(x = 0)^(x = 2) sqrt(2) u^2 (u + sqrt(5)) 2 u d u = 2 sqrt(2) int_(x = 0)^(x = 2) ( u^4 + sqrt(5) u^3 ) d u

Usando uma propriedade importantíssima

int_b^a (f (x) + g ( x )) d x = int_b^a f ( x ) d x + int_b^a g ( x ) d x

int_(x = 0)^(x = 2) sqrt(2) u^2 (u + sqrt(5)) 2 u d u = 2 sqrt(2) int_(x = 0)^(x = 2) u^4 d u + 2 sqrt(2) int_(x = 0)^(x = 2) sqrt(5) u^3 d u =

= 2 sqrt(2) ((u^5)/(5) + (sqrt(5) u^4)/(4))

Passo 3

Retornando a nossa variável inicial

int_0^2 √ 2 x ( sqrt(x) + √ 5 ) d x = 2 sqrt(2) ((u^5)/(5) + (sqrt(5) u^4)/(4)) = 2 sqrt(2) ((( sqrt(x) )^5)/(5) + (sqrt(5) sqrt(x)^4)/(4)) (​|_0 -> 2 = (16)/(5) + 2 sqrt(10)

Resposta

int_0^2 √ 2 x ( sqrt(x) + √ 5 ) d x = (16)/(5) + 2 sqrt(10)

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