Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 15
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?!
Aqui temos que usar a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função:
Lembrando que, segundo a parte 1 do teorema fundamental do cálculo (TFC) temos que se:
Ou seja:
O teorema diz que se você primeiro integra uma função contínua e depois diferencia o resultado (ou vice-versa), você volta à função original. É tipo um passe de mágica matemático! ✨
Vamos olhar a nossa integral, o limite inferior é uma constante. Não afeta a derivada (lembra que a derivada de uma constante é zero?). Já limite superior é uma função e é justamente onde o teorema se aplica diretamente.
Então, como temos que fazer?
Vamos chamar o limite superior , e encontrar nossa , encontrar , aplicar a regra da cadeia e por fim, voltar o limite inferior para
Vamos juntos nessa!
Passo 2
Beleza, nossa função é:
Para encaixar a nossa integral na parte 1 do teorema fundamental do cálculo (TFC) temos que fazer uma substituição no limite de integração superior:
Derivando (e aqui usaremos a notação de Leibniz, somente porque o livro a usa, mas você pode fazer com a notação que preferir):
Pela regra da cadeia a gente pode escrever:
Se derivarmos a função , vamos ter:
Substituindo na regra da cadeia:
Mas e . Substituindo:
Na notação de Newton:
Passo 3
Chegamos em:
Pela parte do Teorema Fundamental do Cálculo:
Ou seja, a derivada de uma função que estamos integrando é a própria função. Assim, podemos concluir que:
Assim:
Então:
Agora vamos voltar na nossa derivada principal e substituir:
Voltando para a função original:
Prontinho!