Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 17
Use o Teorema do Divergente para calcular , onde e a metade de cima da esfera .
(Sugestão: observe que não é uma superfície fechada. Calcule primeiro as integrais sobre e , onde é o círculo , orientado para baixo, e
Passo 1
Oi, galera! Tudo bem?
A questão pede para calcularmos
Onde
E a metade de cima da esfera
Aqui o enunciado chama nossa metade da esfera de . Nossa meia esfera não é fechada embaixo, por isso vamos transformar nossa meia esfera numa superfície fechada para aplicarmos o Teorema do Divergente.
Então faremos a integral de que �� referente a uma meia esfera fechada embaixo por um círculo, servindo de fundo, e que é esse círculo em questão. Daí, tiramos de e teremos o valor da nossa meia esfera sem fundo, que é o que o enunciado pede.
Retomando o Teorema do Divergente:
Ou seja, o fluxo de pela fronteira de é igual a integral tripla da divergência de sobre a mesma fronteira .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar com o cálculo da superfície , que é a base que fecha nossa metade de esfera.
Como temos uma superfície aberta, que é o caso de , vamos usar o lado esquerdo do Teorema da Divergência:
Então, para , no plano temos um círculo de raio , orientado para baixo. Então um vetor normal à essa superfície vai ser:
Como essa superfície está na base da metade da esfera, que fica no plano , fazemos na equação do campo:
Em , o campo vetorial é:
E o produto escalar entre e é:
Então nossa integral será:
Passo 3
Ainda falta encontrarmos os limites de integração. Como a região de integração temos um círculo de raio
O sistema de coordenadas polares tem 2 variáveis:
- : raio do círculo. Como tem raio e está centrada na origem, temos a variação:
- : ângulo da esfera no plano , ao redor do eixo . Como no plano temos uma circunferência completa, nossa variação será:
- : raio da esfera. Como tem raio e está centrada na origem, temos a variação:
- : ângulo da esfera no plano , ao redor do eixo . Como no plano nossa esfera traça uma circunferência completa, nossa variação será:
- : ângulo que sai do eixo positivo de . Como nossa esfera é somente metade, vai do eixo positivo até o plano . Então:
Podemos usar coordenadas polares, temos as equações
:
E:
Substituindo pelas coordenadas polares, nossa integral fica:
Agora é só resolvermos a integral! Integrando primeiro em , tratando como constante e aplicando os limites de integração:
Agora finalmente resolvemos nossa integral em e aplicamos os limites de integração:
Então:
Passo 4
Vamos agora para a superfície , que é a semi esfera fechada completamente.
Para , como é fechada, podemos usar a forma do lado direito do teorema lá do passo .
Agora a região de interesse é a metade da esfera, então os limites de integração vão ficar, em coordenadas esféricas:
Então:
E o diferencial de volume vai ser
Passo 4
Agora precisamos encontrar o divergente do campo vetorial.
A função campo é do tipo:
Como nosso campo tem a equação:
Nossos termos são:
Aplicando na equação do divergente:
Temos:
Realizando as derivadas parciais:
Mas lembra que estamos lidando com coordenadas esféricas para o cálculo de , então usamos a equação:
Que torna nosso diferencial:
Agora é só colocar na integral!
Passo 5
Aplicando em coordenadas esféricas:
Vamos começar integrando por dentro, em , tratando como constante:
Aplicando os limites de integração em :
Integrando agora em e aplicando os limites de integração:
Finalizando nossa integral em :
Então:
Passo 6
Agora temos a relação entre as superfícies: A superfície é a meia esfera fechada por um disco embaixo, a é o disco em si e a superfície é a meia esfera aberta embaixo. Voltando no enunciado, vemos que a semi esfera aberta é o que a questão pede.
Como calcularmos a superfície com o disco, mas queremos sem é só fazermos a subtração:
Daí o fluxo vai ser:
E temos esses valores! Dos passos 6 temos: