Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 19d
Dados e , sejam e Prove que
(d) se é base, então é positiva. (Qual é, neste caso, o determinante de ?)
Passo 1
Bora lá!
Para sabermos se um tripla de vetores é base positiva, nós devemos estudar o sinal do produto misto dos vetores dessa tripla. Vamos analisar , certo? Logo precisamos descobrir o valor de:
Passo 2
Assim, como já foi feito nos itens anteriores, vamos usar a definição de produto misto e a fórmula do duplo produto vetorial.
Começando pela definição de produto misto, temos:
Já pela fórmula do duplo produto vetorial:
Passo 3
Substituindo (2) em (1), temos:
Passo 4
No enunciado foi dito que a tripla de vetores é base, então podemos afirmar que:
Certo?
Passo 5
Como já vimos, o produto misto da tripla é igual a e que , então podemos aformar que também é diferente de zero, portanto, temos que é base.
Além disso, notem que deve ser um número real, e como sabemos todo número real ao quadrado é positivo, logo e é base positiva.
Por fim, vamos calcular a determinante .
Passo 6
Como e são bases, podemos afirmar que:
Resposta
Portanto, se é base, então é base positiva. E .