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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.2 - Ex. 60

Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.

∫ 0 2 1 1 + x 2   d x

Passo 1

Sabendo que que a propriedade 8 nos diz que, desde que a função seja contínua e integrável, o valor da integral de uma função é sempre maior ou igual à área do retângulo de base igual à distância dos limites de integração e de altura igual ao valor mínimo da função nesse intervalo, e de modo semelhante essa integral também é menor ou igual ao retângulo de altura igual ao valor mínimo. Em outras palavras:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x   ≤ M b - a

Passo 2

Nesse caso, f x = 1 1 + x 2 , a = 0 e b = 2 . E, se à medida que x cresce, 1 1 + x 2 diminui, a função é decrescente, os valores de f nos extremos são os valores de máximo e mínimo, logo:

m = f 2 = 1 1 + 2 2 = 1 5

E

M = f 0 = 1 1 + 0 2 = 1

Passo 3

Logo, pela Propriedade 8 :

1 5 2 - 0 ≤ ∫ 0 2 1 1 + x 2   d x ≤ 1 2 - 0

2 5 ≤ ∫ 0 2 1 1 + x 2   d x ≤ 2

Logo, o valor de ∫ 0 2 1 1 + x 2   d x deve estar entre 2 5 e 2 .

Resposta

O valor de ∫ 0 2 1 1 + x 2   d x está entre 2 5 e 2 :

2 5 ≤ ∫ 0 2 1 1 + x 2   d x ≤ 2

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