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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.2 - Ex. 64

Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.

∫ π 2 π x - 2 sen ⁡ x   d x

Passo 1

A propriedade 8 do livro-texto, nos afirma que se tivermos uma função f ( x ) contínua em um intervalo a , b com um máximo absoluto M e um mínimo absoluto m , então a área do gráfico de f é menor ou igual que a área do retângulo de altura M e maior ou igual que o retângulo de altura m . Em termos matemáticos, isso quer dizer que:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x   ≤ M b - a

Passo 2

Se nomearmos uma função f e definirmos ela como f x = x - 2 sen ⁡ x   devemos procurar seus valores mínimo e máximo absolutos. Para isso devemos saber até onde f cresce e decresce no intervalo a , b = π , 2 π que é o intervalo de integração, e podemos fazer isso por meio do teste da derivada:

f ' x = 1 - 2 cos ⁡ x

Para f ' x = 0 em π ≤ x ≤ 2 π

f ' x = 1 - 2 cos ⁡ x = 0

cos ⁡ x = 1 2

Como π ≤ x ≤ 2 π :

x = 5 π 3

Para π < x < 5 π 3 :

f ' x > 0

f é crescente

Para 5 π 3 < x < 2 π :

f ' x < 0

f é decrescente

Desse modo o temos o máximo absoluto em x = 5 π 3 cujo valor máximo é:

M = f 5 π 3 = x - 2 sen ⁡ x = 5 π 3 - 2 sen ⁡ 5 π 3 = 5 π + 3 3 3 ≈ 6,97

E o mínimo então só pode ser um dos extremos x = π ou x = 2 π :

f π = π - 2 sen ⁡ π = π

f 2 π = 2 π - 2 sen ⁡ 2 π = 2 π

Portanto, m = f π = π

Passo 3

Temos então:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x   ≤ M b - a

Como a = π , b = 2 π ,   f x = x - 2 sen ⁡ x , m = π e M = 5 π + 3 3 3 :

π π ≤ ∫ π 2 π x - 2 sen ⁡ x   d x ≤ 5 π + 3 3 3 π

π 2 ≤ ∫ π 2 π x - 2 sen ⁡ x   d x ≤ π 3 5 π + 3 3

Resposta

O valor de ∫ π 2 π x - 2 sen ⁡ x   d x está entre π 2 e π 3 5 π + 3 3 pois:

π 2 ≤ ∫ π 2 π x - 2 sen ⁡ x   d x ≤ π 3 5 π + 3 3

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Suponha que f seja uma função contínua não negativa num intervalo [ a , b ] e que g x = f x + C , em que C é uma constante positiva. Qual será a área entre os gráficos de f e g ?
Sejam A a área entre o gráfico de f x = x e o intervalo [ 0,1 ] ; e B a área entre o gráfico de f x = x 2 e o intervalo [ 0,1 ] . Explique geometricamente por que A + B = 1 .
j) ∫ x + sec 2 ⁡ 3 x d x .
Calcule j∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2d x
35 - 40. Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas.35) ∫ 1 3 1 + 2 x d x