Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.2 - Ex. 58
Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos verificar a desigualdade sem calcular a integral:
Para isso, devemos utilizar apenas as propriedades das integrais,
Então... para resolvermos isso devemos analisar a função dentro da integral e entender o seu significado... os seus limites.
E aí?? Bora lá?? 😉
Passo 2
Vamos chamar a função que está sendo integrada de , ou seja .
Sabemos que a função cosseno no intervalo é decrescente, então no intervalo temos um mínimo em cujo valor mínimo absoluto é .
E temos também um valor máximo absoluto em cujo valor máximo é .
Passo 3
Uma propriedade das integrais nos diz que se tivermos uma função contínua em um intervalo com um máximo absoluto e um mínimo absoluto , então a área do gráfico de é menor ou igual que a área do retângulo de altura e maior ou igual que o retângulo de altura .
Em termos matemáticos, isso quer dizer que:
Se tomarmos no caso da questão, e de modo que:
Então:
Passo 4
Como temos o valor mínimo de , sendo ele , de modo que o valor máximo seja temos:
Lembrando que , temos que:
Resposta
A desigualdade é verdadeira.