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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 64

Use qualquer método para calcular as integrais nos Exercícios 63-68.

64

∫ s e n 3 x c o s 4   x d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a integral.

∫ s e n 3 x c o s 4   x d x = ∫ s e n 2 x ⋅ s e n   x c o s 4 x d x

Lembrando que

s e n 2 x = 1 - c o s 2 x

Então

∫ s e n 2 x ⋅ s e n   x c o s 4 x d x = ∫ 1 - c o s 2 x ⋅ s e n   x c o s 4 x   d x = ∫ s e n ( x ) c o s 4 x d x + ∫ s e n   x c o s 2 x d x

Vamos lembrar que

sec ⁡ x =   1 cos ⁡ x

Então, por fim teremos

∫ t g   x ⋅ s e c 3 x d x + ∫ t g   x ⋅ sec ⁡ x d x

Passo 3

Agora vamos calcular as integrais separadamente, começando pela segunda

∫ t g   x ⋅ sec ⁡ x d x

Para essa integral usamos a substituição

u = sec ⁡ x d u = t g   x ⋅ sec ⁡ x d x

Então

∫ t g   x ⋅ sec ⁡ x d x = ∫ d u = u = sec ⁡ x + C

Passo 4

Agora é a vez da primeira integral

∫ t g   x ⋅ s e c 3 x d x

Podemos usar uma estratégia muito parecida com a do passo anterior

u = sec 3 ⁡ x d u = 3 sec 3 ( ⁡ x )   t g   ( x )

∫ t g   x ⋅ sec 3 ⁡ x d x = 1 3 ∫ d u = u = 1 3 sec 3 ⁡ x + C

Passo 5

Agora basta somar as integrais

sec ⁡ x + 1 3 sec 3 ⁡ x + C

Resposta

sec ⁡ x + 1 3 sec 3 ⁡ x + C

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