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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 35

Avalie a integral:

int_(- pi // 2)^(pi // 2) (x)/(1 + cos^2 x) d x

Passo 1

Essa é uma função bastante complicada de integrar, então vamos procurar algum atalho. Nosso intervalo de integração é simétrico: estamos indo de pi // 2 até - pi // 2 .

Nesses casos, é uma boa verificar a paridade da função, ou seja, se ela é par ou ímpar.

Se a função ímpar é integrada no intervalo simétrico, temos o seguinte:

int_(- a)^a I (x) d x = 0

O que já resolveria a questão.

E se a função par for integrada no intervalo simético:

int_(- a)^a P (x) d x = 2 int_0^a P (x) d x

O que não resolve, mas simplifica bastante.

Passo 2

Beleza, como fazemos para saber se a função é par ou ímpar:

{[[P a r : f (- x) = f (x)],[Í m p a r : f (- x) = - f (x)]])

A nossa função é:

f (x) = (x)/(1 + cos^2 x)

E vamos ver o que acontece quando fazemos f (- x) :

f (- x) = (- x)/(1 + cos^2 (- x))

Mas cos ( - x ) = cos ( x ) , então:

f (- x) = - (x)/(1 + cos^2 (x)) = - f (x)

Ou seja, a nossa função é ímpar, e então a integral do problema é nula.

Resposta

A integral vale zero.

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