Avalie a integral:

∫ - π / 2 π / 2 x 1 + cos 2 ⁡ x   d x

Passo 1

Essa é uma função bastante complicada de integrar, então vamos procurar algum atalho. Nosso intervalo de integração é simétrico: estamos indo de π / 2 até - π / 2 .

Nesses casos, é uma boa verificar a paridade da função, ou seja, se ela é par ou ímpar.

Se a função ímpar é integrada no intervalo simétrico, temos o seguinte:

∫ - a a I x   d x = 0

O que já resolveria a questão.

E se a função par for integrada no intervalo simético:

∫ - a a P x   d x = 2 ∫ 0 a P x d x

O que não resolve, mas simplifica bastante.

Passo 2

Beleza, como fazemos para saber se a função é par ou ímpar:

P a r :           f - x = f x Í m p a r :           f - x = - f x

A nossa função é:

f x = x 1 + cos 2 ⁡ x

E vamos ver o que acontece quando fazemos f - x :

f - x = - x 1 + cos 2 ⁡ - x

Mas cos ⁡ ( - x ) = cos ⁡ ( x ) , então:

f - x = - x 1 + cos 2 ⁡ x = - f x

Ou seja, a nossa função é ímpar, e então a integral do problema é nula.

Resposta

A integral vale zero.

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