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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 65

Use qualquer método para calcular as integrais nos Exercícios 63-68.

65

∫ t g 2 x csc ⁡ x d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a integral, lembrando que

csc ⁡ x = 1 s e n   x

e

s e n 2 x = 1 - c o s 2 x

∫ s e n 2 x cos 2 ⁡ x ⋅ s e n   x d x = ∫ 1 - c o s 2 x c o s 2 x ⋅ s e n x = ∫ s e n   x cos 2 ⁡ x   d x -   ∫ s e n   x   d x

A gente também sabe que

sec ⁡ x =   1 cos ⁡ x

Então nossa integral fica

∫ sec ⁡ x ⋅ t g   x   d x -   ∫ s e n   x   d x

Passo 3

Agora vamos calcular as integrais separadamente, começando pela primeira

∫ t g   x ⋅ sec ⁡ x d x

Para essa integral usamos a substituição

u = sec ⁡ x d u = t g   x ⋅ sec ⁡ x d x

Então

∫ t g   x ⋅ sec ⁡ x d x = ∫ d u = u = sec ⁡ x + C

Passo 4

Agora é a vez da segunda, que é uma integral mais simples, basta lembrar que

∫ s e n   x =   - cos ⁡ x + C

Passo 5

Agora basta somar as integrais

sec ⁡ x + cos ⁡ x   + C

Resposta

sec ⁡ x + cos ⁡ x   + C

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