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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 67

Use qualquer método para calcular as integrais nos Exercícios 63-68.

67

∫ x s e n 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a integral, lembrando que

Lembrando que

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Então

∫ x s e n 2 x d x =   ∫ x   ⋅ 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x =   1 2 ∫ x   d x - 1 2 ∫ x cos ⁡ 2 x   d x

Passo 3

Agora vamos calcular as integrais separadamente, começando pela primeira

1 2 ∫ x   d x =   1 2 ⋅ x 2 2 + C = x 2 4 + C

Passo 4

Agora é a vez da segunda integral

∫ x cos ⁡ 2 x   d x

Podemos resolver essa integral, usando a técnica de integral por partes

∫ u d v =   u v - ∫ v d u

Onde

u = x d u = d x d v = cos ⁡ 2 x d x v = 1 2   s e n   2 x

Então

∫ x cos ⁡ 2 x   d x = x ⋅ 1 2 s e n   2 x - ∫ 1 2 s e n   2 x   d x =   x 2 s e n   2 x - 1 4 cos ⁡ 2 x

Passo 5

Agora basta somar as integrais

x 2 4 - 1 2 ⋅ x 2 s e n   2 x - 1 4 cos ⁡ 2 x  

Resposta

x 2 4 - x 4 s e n   2 x - 1 8 cos ⁡ 2 x  

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