Use as entradas indicadas na Tabela de Integrais nas Paginas de Referencia para resolver a integral.

∫ 0 π x 3 sin ⁡ x d x

Passo 1

Pessoal, a integral deste exercício deve ser checada na Tabela de Integrais, nas Páginas de Referência. A partir delas conseguiremos resolver a integral dada. Vamos la:

∫ 0 π x 3 sin ⁡ x d x

A forma desta integral é muito parecida com a entrada 84 da tabela. Vamos comparar:

∫ 0 π x 3 sin ⁡ x d x → ∫ u n sin ⁡ u d u

Onde n = 3 . Então, usando a resposta da integral 84:

∫ u n sin ⁡ u d u = - u n cos ⁡ u + n ∫ u n - 1 cos ⁡ u d u

∫ 0 π x 3 sin ⁡ x d x = - x 3 cos ⁡ x π 0 + 3 ∫ 0 π x 2 cos ⁡ x d x

= - π 3 cos ⁡ π + 3 ∫ 0 π x 2 cos ⁡ x d x

π 3 + 3 ∫ 0 π x 2 cos ⁡ x d x

Temos uma parte da equação já resolvida. Porém, caímos em outra integral, agora com cosseno. Pela Tabela de Integrais, vemos que ela é do modelo da 85, com n = 2 . Vamos então usar esta resposta.

∫ 0 π x 2 cos ⁡ x d x → ∫ u n cos ⁡ u d u

Então, usando a resposta da integral 85:

∫ u n cos ⁡ u d u = u n sen ⁡ u - n ∫ u n - 1 sen ⁡ u d u

3 ∫ 0 π x 2 cos ⁡ x d x = 3 x 2 sen ⁡ x π 0 - 6 ∫ 0 π x sen ⁡ x d x

= 0 - 6 ∫ 0 π x sen ⁡ x d x

Parece até que caímos num loop infinito de integrais. Mas calma!!! Veja que a potência está sempre reduzindo. Agora, olhando pra integral 82 da Tabela, vemos que é igual a nossa. Nossos problemas acabaram, vamos usar a resposta da 82:

- 6 ∫ 0 π x sen ⁡ x d x = - 6 sen ⁡ x - x cos ⁡ x π 0

= - 6 sen ⁡ π - π cos ⁡ π - sen ⁡ 0 - 0

= - 6 π

Pronto! Agora vamos juntar com a parte resolvida la na primeira integral:

∫ 0 π x 3 sin ⁡ x d x = π 3 - 6 π

Que é a nossa resposta.

Resposta

∫ 0 π x 3 sin ⁡ x d x = π 3 - 6 π

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