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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 10

Resolva a equação diferencial:

x (d y)/(d x) = (cos x)/(x) - 2 y

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos fazer alguns ajustes para ficar parecida com a equação diferencial.

x y^' + 2 y = (cos x)/(x)

Dividimos por x , pois o coeficiente de y ' deve ser 1. Beleza?

y^' + (2)/(x) y = (cos x)/(x^2)

Agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

y^' (x) + p (x) y = f ( x )

Comparando, percebemos que p (x) = (2)/(x) ; f (x) = (cos x)/(x^2)

Passo 2

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u (x) = e^(int p (x) d x) = e^(int (2)/(x) d x) = e^(2 ln x) = e^(ln x^2) = x^2

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

x^2 y^' + 2 x = cos x

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

(d y)/(d x) (x^2 y) = cos x

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

x^2 y = int cos x d x

x^2 y = sin x + C

y = (sin x)/(x^2) + (C)/(x^2)

Resposta

y = (sin x)/(x^2) + (C)/(x^2)

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