Resolva a equação diferencial:

x \* (dy/dx) = (cos(x) / x) - 2y

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos fazer alguns ajustes para ficar parecida com a equação diferencial.

x y ' + 2 y = cos ⁡ x x

Dividimos por x , pois o coeficiente de y ' deve ser 1. Beleza?

y ' + 2 x y =   cos ⁡ x x 2

Agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

y ' x + p x y = f ( x )

Comparando, percebemos que p x =   2 x ;   f x =   cos ⁡ x x 2

Passo 2

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u x =   e ∫ p x d x = e ∫ 2 x d x =   e 2 ln ⁡ x = e ln ⁡ x 2 = x 2

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

x 2 y ' + 2 x = cos ⁡ x

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

d y d x x 2 y = cos ⁡ x

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

x 2 y = ∫ cos ⁡ x   d x

x 2 y = sin ⁡ x + C

y = sin ⁡ x   x 2 + C x 2

Resposta

y = sin ⁡ x   x 2 + C x 2

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