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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 72

Use qualquer método para resolver em x .

int_1^x (1)/(t sqrt(2 t - 1)) d t = 1 , x > (1)/(2)

Passo 1

A ideia aqui é calcular essa integral, achar uma resposta em função de x e igualar ao valor do outro lado da equação.

Preparado? Vamos começar!

Passo 2

Primeiro temos que resolver a integral:

int_1^x (1)/(t sqrt(2 t - 1)) d t

Usando a fórmula 108 da tabela de integrais, conseguimos saber quanto vale a integral:

int (d u)/(u sqrt(a + b u))

Como para nós a < 0 :

u = t , a = - 1 , b = 2

Usamos essa parte da fórmula:

int (d u)/(u sqrt(a + b u)) = (2)/(sqrt(- a)) a r c t g sqrt((a + b u)/(- a)) + C

Nossa integral então fica:

int_1^x (1)/(t sqrt(2 t - 1)) d t = (2)/(sqrt(1)) a r c t g sqrt((- 1 + 2 t)/(1)) (​|_1^x = 2 a r c t g sqrt(2 x - 1) - (2 pi)/(4)

Passo 3

Agora é só igualar os dois lados da equação:

2 a r c t g sqrt(2 x - 1) - (pi)/(2) = 1

E isolar x :

a r c t g sqrt(2 x - 1) = (1)/(2) + (pi)/(4) :. 2 x - 1 = (t g ((1)/(2) + (pi)/(4)))^2

x = ((t g ((1)/(2) + (pi)/(4)))^2 + 1)/(2) = 6,30799

Prontinho!

Resposta

x = 6,30799

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