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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 74

Calcule a integral definida abaixo:

int_0^1 (8 s^3 - 12 s^2 + 5) d s

Passo 1

Primeiramente vamos aplicar a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

int_a^b ( f (x) +- g ( x ) ) d x = int_a^b f (x) d x +- int_a^b g (x) d x

Assim, temos que :

int_0^1 8 s^3 d s - int_0^1 12 s^2 d s + int_0^1 5 d s

Passo 2

Agora integramos o polinômio e retiramos a constante:

int_0^1 8 s^3 d s - int_0^1 12 s^2 d s + int_0^1 5 d s =

= 8 int_0^1 s^3 d s - 12 int_0^1 s^2 d s + 5 int_0^1 d s = 8 ((s^4)/(4)) (1)/(0) - 12 ((s^3)/(3)) (1)/(0) + 5 ( s ) (1)/(0)

Lembre-se que integração polinomial é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Passo 3

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

8 ((1)/(4) - 0) - 12 ((1)/(3) - 0) + 5 (1 - 0) = 2 - 4 + 5 = 3

Resposta

3

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