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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 77

Use qualquer método para encontrar o volume do sólido gerado quando a região delimitada pelas curvas gira em torno do eixo y .

y = cos ⁡ x ,     y = 0 ,     x   = 0 ,     x = π / 2

Passo 1

Para calcular o volume de um sólido obtido pela rotação de uma região descrita por funções de x em torno do eixo y , podemos montar a integral:

V = ∫ a b 2 π x f ( x ) d x

E achar o valor dela. Vamos lá!

Passo 2

Temos que no intervalo 0 , π 2 , o cosseno é sempre positivo, então podemos dizer que:

f x = cos ⁡ x

E os extremos de integração são:

x = a = 0 ,     x = b = π 2

Nossa integral fica então com essa carinha:

V = ∫ 0 π 2 2 π x cos ⁡ x d x

Passo 3

Agora é só calcular. Podemos tentar usar a Fórmula 45 da tabela de integrais:

∫ u cos ⁡ u d u = cos ⁡ u + u   s e n   u + C

Fazendo   u = x :

V = 2 π ∫ 0 π 2 x cos ⁡ x d x = 2 π cos ⁡ x + x   s e n   x ​ 0 π 2

Fazendo essas continhas, temos que:

V = π 2 - 2 π ≈ 3,58641

Prontinho!

Resposta

V = π 2 - 2 π ≈ 3,58641

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