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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.7 - Ex. 17

Teste a convergência ou divergência da série:

∑ n = 0 ∞ n ! 2 . 5 . 8 . . . ( 3 n + 2 )

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Neste exercício, vamos analisar a convergência da série ∑ n = 0 ∞ n ! 2.5 . 8 . . . ( 3 n + 2 ) .

Aquele fatorial e aquela sequência de produtos no denominador só nos mostram que devemos aplicar o Teste da Razão. Então, vamos lá...

O Teste da Razão é adequado quando temos série com termos exponenciais, porque ele nos ajuda a comparar o crescimento relativo dos termos consecutivos da série.

Vamos aplicar o teste da razão, que consiste em calcular o limite:

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Onde a n é o termo geral da série.

  • Se L < 1 , a série converge absolutamente.
  • Se L > 1 ou L = ∞ , a série diverge.
  • Se L = 1 , o teste é inconclusivo.

Para nossa série, temos:

a n = - 3 n + 1 2 3 n

Passo 2

Pelo Teste da Razão, teremos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! 2.5 . 8 . . . ( 3 ( n + 1 ) + 2 ) n ! 2.5 . 8 . . . ( 3 n + 2 )

= lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! 2.5 . 8 . . . ( 3 ( n + 1 ) + 2 ) ∙ 2.5 . 8 . . . ( 3 n + 2 ) n !

Tá vendo só? Aqueles produtos todos vão logo se cortar.

MAAAS, devemos prestar bastante atenção aqui! O denominador do termo genérico a n é dado por 2.5 . 8 . . . ( 3 n + 2 ) . Até aí tudo bem...

Quando avaliamos o temo seguinte, o a n + 1 , vemos que o seu denominador “irá crescer em um termo” dado por 3 n + 1 + 2 . Ou seja:

2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 3 n + 2 ⏟ d e n o m i n a d o r   d o   t e r m o   a n →     p r ó x i m o   t e r m o   d a   s é r i e     2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 3 n + 2 ⏟ d e n o m i n a d o r   d o   t e r m o   a n ∙ 3 n + 1 + 2 ⏟ p a r c e l a   d o   t e r m o   a n + 1

Passo 3

E abrindo aquele fatorial que está no numerador, poderemos simplificar alguns termos semelhantes:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ∙ n ! 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 3 n + 2 3 n + 1 + 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 3 n + 2 n !

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 n + 5 = 1 3

Show de bola! Como o resultado do nosso limite lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 3 < 1 , chegamos à conclusão de que a nossa integral converge!

Resposta

A série ∑ n = 0 ∞ n ! 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ( 3 n + 2 ) é convergente.

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