Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 38
Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
Passo 1
Opa, pessoal! Beleza?
Bom, aqui a questão quer saber se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente, ou divergente. O enunciado deixa livre pra gente escolher o método dentre todos os que foram apresentados nesse capítulo 11. Nossa série é:
Quando temos uma exponencial em função de pode ser um indicativo para usarmos o Teste da Raiz, que é basicamente o cálculo do seguinte limite:
- Se série absolutamente convergente (e, portanto, convergente)
- Se ou série é divergente.
- Se o Teste da Razão é inconclusivo.
Vamos nessa!
Passo 2
Podemos reescrever essa série usando uma propriedade logarítmica:
Ficaremos com:
E pela cara dela agora, podemos dizer que o teste da raiz é bom para resolvermos:
Na nossa série, o teste fica:
Como começa em 2, a função é sempre positiva e o próprio também, podemos então aplicar o módulo e o sinal do some:
Cortando o expoente com a raiz:
Passo 3
Aplicando o limite, a função tende para infinito e também, e por isso, a razão tende para zero:
Como , a nossa série é absolutamente convergente