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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 31

Use um recurso computacional com capacidade para tratar de somatórios ou um CAS para obter um valor aproximado da área entre a curva y = f ( x ) e o intervalo especificado com n = 10 ,   20   e   50 subintervalos usando a aproximação (a) pela extremidade esquerda, (b) pelo ponto médio e (c) pela extremidade direita.

y = 1 x ; [ 1,2 ]

Passo 1

Vamos começar por a ), calculando com os 3 tipos de divisões pela extremidade da esquerda (e calculei o somatório pela calculadora do D e s m o s )

  1. Δ x = b - a n = 2 - 1 n = 1 n

    x k * = a + k - 1 Δ x = 1 + k - 1 ⋅ 1 n

  • n = 10 :

    • ∑ k = 1 10 1 1 + k - 1 ⋅ 1 10 1 10 ≅ 0,7188

  • n = 20

    • ∑ k = 1 20 1 1 + k - 1 ⋅ 1 20 1 2 0 ≅ 0,7058

  • n = 50

    • ∑ k = 1 50 1 1 + k - 1 ⋅ 1 5 0 1 5 0 ≅ 0,69 82

    Passo 2

  • E agora pelo ponto médio...

    • Δ x = b - a n = 2 - 1 n = 1 n

    x k * = 1 + k - 1 2 ⋅ 1 n

  • n = 10

    • ∑ k = 1 10 1 1 + k - 1 2 ⋅ 1 10 1 10   ≅ 0,6928

  • n = 20

    • ∑ k = 1 20 1 1 + k - 1 2 ⋅ 1 20 1 20 ≅   0,6931

  • n = 50

    • ∑ k = 1 50 1 1 + k - 1 2 ⋅ 1 50 1 50 ≅   0,6931

    Passo 3

  • Por último, fazemos pela extremidade da direita:

    • Δ x = b - a n = 2 - 1 n = 1 n

    x k * = a + k Δ x = 1 + k n

  • n = 10

    • ∑ k = 1 10 1 1 + k 10 1 10 ≅ 0,6688

  • n = 20

    • ∑ k = 1 20 1 1 + k 20 1 20 ≅ 0,6808

  • n = 50

∑ k = 1 50 1 1 + k 50 1 50 ≅ 0,6882

Resposta

  1. 0,7188 ; 0,7058 ; 0,6982
  2. 0,6928 ; 0,6931 ; 0,6931
  3. 0,6688 ; 0,6808 ; 0,6882
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Prove o Teorema de Limite 7 aplicando o Teorema de Limite 6 e usando a indução matemática.
Se h x = x + 9 - 3 x , mostre que lim x → 0 ⁡ h x = 1 6 , mas que h ( 0 ) não está definida.
Use a Definição 2.1.1 para provar que se lim x → a ⁡ f x = L e lim x → a ⁡ g x = M Então lim x → a [ ⁡ f x - g ( x ) ] = L - M
Use a Definição 2.1.1 para provar que se lim x → a ⁡ f x = L e lim x → a ⁡ g x = M = 0 Então lim x → a [ ⁡ f x . g ( x ) ] = 0
Ache o limite, se existir. lim x → 1 3 ⁡ 3 x - 1 - 5