Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 38

Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = 4 - 1 4 x 2 ; 0,3

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade direita, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + k Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 3 n

x k * = 3 k n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 4 - 1 4 3 k n 2 3 n  

Vamos dar uma melhorada nisso:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 4 - 9 k 2 4 n 2 3 n  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 12 n - 27 k 2 4 n 3  

Separamos...

A = lim n → ∞ ⁡ 12 n ∑ k = 1 n 1 - 27 4 n 3 ∑ k = 1 n k 2  

Resolvemos agora os somatórios:

A = l i m n → ∞ 12 n n - 27 4 n 3 n n + 1 2 n + 1 6  

A =   l i m n → ∞ 12 - 27 24 n 2 2 n 2 + 3 n + 1

A =   l i m n → ∞ 12 - 54 24 - 81 24 n - 27 24 n 2 ⏟ 0  

A = 12 - 54 24 = 39 4

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pela extremidade da direita😊

Resposta

A = 39 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se g (x) = (x^2 - 16)/(x - 4) , mostre que underset(x - 4)(lim) g (x) = 8 , mas que g ( 4 ) não é definida.
Prove o Teorema de Limite 6: Se underset(x - a)(lim) f (x) = L e underset(x - a)(lim) g (x) = M Entãounderset(x - a)(lim) [ f (x) . g ( x ) ] = L . M
Dado que f é a função definida por f x = { x ² - 9 , s ex ≠ - 3 4, s ex = - 3 ² Ache lim x → - 3 ⁡ f x e mostre que lim x → - 3 ⁡ f x ≠ f - 3 . Faça um esboço do gráfico de f .
Dado que f é a função definida por f x = { 2 x - 1 , s ex ≠ 2 1, s ex = 2 Ache lim x → 2 ⁡ f x e mostre que lim x → 2 ⁡ f x ≠ f 2 . Faça um esboço do gráfico de f .
Prove o Teorema de Limite 5 aplicando o Teorema de Limite 4 e usando a indução matemática.