Enunciado

1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .

5. w = x e y z ,   x = t 2 ,   y = 1 - t ,   z = 1 + 2 t

Passo 1

Oie, vamos resolver essa atividade aqui.

A gente quer encontrar o diferencial:

d w d t

Sendo que nossa função é a:

w = x e y z

E temos que:

x = t 2

y = 1 - t

E:

z = 1 + 2 t

Que são parametrizações da função.

Para encontrarmos d w d t , temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

d w d t = ∂ w ∂ x d x d t + ∂ w ∂ y d y d t + ∂ w ∂ z d z d t

Vamos calcular as derivadas parciais então.

Passo 2

Derivando, teremos:

Aqui a gente deriva em relação a x :

w = x e y z

∂ w ∂ x = e y z

Agora vamos de x t :

x = t 2

Realizando essa derivada:

d x d t = 2 t

Vamos agora calcular a derivada parcial w y :

w = x e y z

A gente aplica aqui a regra da cadeia:

∂ w ∂ y = x ⋅ e y z ⋅ 1 z

Simplificando:

∂ w ∂ y = x z ⋅ e y z

Agora vamos de calcular a derivada de y :

y = 1 - t

d y d t = - 1

Nossa vez de calcular a derivada parcial w z :

w = x e y z

Aplicamos aqui a regra da cadeia novamente:

∂ w ∂ z = x ⋅ e y z ⋅ - y ⋅ z - 1 '

Agora derivando e organizando tudo:

∂ w ∂ z = x ⋅ e y z ⋅ - y z 2

Simplificando:

∂ w ∂ z = - x y z 2 ⋅ e y z

E por ultimo temos:

d z d t = 2

z = 1 + 2 t

Passo 3

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia, obteremos:

d w d t = ∂ w ∂ x d x d t + ∂ w ∂ y d y d t + ∂ w ∂ z d z d t

d w d t = e y z ⋅ 2 t - x z ⋅ e y z - 2 ⋅ x y z 2 ⋅ e y z

d w d t = e y z 2 t - x z - 2 x y z 2

Resposta

d w d t = e y z 2 t - x z - 2 x y z 2

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Use a regra da cadeia para achar d z // d t .z = cos ( x + 4 y ) , x = 5 t^4 e y = 1 // t
Use a regra da cadeia para achar d z // d t .z = x^2 + y^2 + x y , x = s e n t e y = e^t
Use a regra da cadeia para achar d z // d t .z = sqrt(1 + x^2 + y^2) , x = ln t e y = cos t