O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de 1,8 c m s enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de 2,5 c m s . Em qual taxa o volume do cone está variando quando o raio é 120   c m e a altura é 150   c m ?

Passo 1

Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais com regra da cadeia, vamos lá!

Antes de tudo a questão da um contexto bonitinho para que a gente monte a equação do volume do cone, então vamos lá!

A fórmula do volume do cone é

V = π r 2 h 3

Ou ainda, reescrevendo para o nosso contexto

V ( r ,   h ) = π 3 r 2 h

Mas a questão diz que o raio ( r ) e a altura ( h ) dependem do tempo ( t ) e são dados por

r = 1,8 ⋅ t

h = - 2,5 ⋅ t

Ora, então no final das contas temos que o volume é uma função do tipo

V ( r ( t ) ,   h ( t ) )

E além disso, a questão pede que encontremos a taxa de variação do volume quando

r ,   h = ( 120 ,   150 )

Ou seja, queremos encontrar

d V d t

E podemos encontrar isso com a regra da cadeia!

Passo 2

Para esse caso, pela regra da cadeia de funções com mais de uma variável, d V d t vai ser dado pela seguinte fórmula:

d V d t = ∂ V ∂ r d r d t + ∂ V ∂ h d h d t

De forma que, para montar essa equação precisamos encontrar as derivadas parciais V r e V h (as derivadas r ' e h ' são as taxas que o enunciado nos deu) então vamos lá!

Para encontrar V r nós consideramos h como constante e derivamos em r

∂ V ∂ r = π 3 h d r 2 d r

V r = 2 π r h 3

Para encontrar V r nós consideramos h como constante e derivamos em r

∂ V ∂ h = π 3 r ² d h d h

V h = π r ² 3

De forma que, substituindo de volta na equação, temos

d V d t = 2 π r h 3 ⋅ d r d t + π r 2 3 ⋅ d h d t

Substituindo as taxas

d V d t = 2 π r h 3 ⋅ 1,8 - π r 2 3 ⋅ 2,5

E, por fim, substituindo o ponto em que desejamos encontrar a taxa de variação do volume, temos

V t ( 120 ,   150 ) = 2 π ⋅ 120 ⋅ 150 3 ⋅ 1,8 - π ⋅ 120 2 3 ⋅ 2,5

V t ( 120 ,   150 ) = 8160 c m 3 s

Resposta

V t ( 120 ,   150 ) = 8160 c m 3 s

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