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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 3

Use a regra da cadeia para achar d z // d t .

z = sqrt(1 + x^2 + y^2) , x = ln t e y = cos t

Passo 1

A questão pede para usarmos a regra da cadeia para encontrar d z // d t . Note que z é uma função de x e y , que são, por sua vez, funções de t . Então, na realidade, z é função do tempo apenas!

Assim, pela regra da cadeia:

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) * (d x)/(d t) + (del z)/(del y) * (d y)/(d t)

As derivadas parciais de z são

(del z)/(del x) = (x)/(sqrt(1 + x^2 + y^2))

(del z)/(del y) = (y)/(sqrt(1 + x^2 + y^2))

Passo 2

Já as derivadas de x e y com relação a t são:

(d x)/(d t) = (1)/(t)

(d y)/(d t) = - s e n t

Portanto,

(d z)/(d t) = (x)/(sqrt(1 + x^2 + y^2)) * (1)/(t) - (y)/(sqrt(1 + x^2 + y^2)) * s e n t

Logo,

(d z)/(d t) = (1)/(sqrt(1 + x^2 + y^2)) ((x)/(t) - y s e n t)

Resposta

(d z)/(d t) = (1)/(sqrt(1 + x^2 + y^2)) ((x)/(t) - y s e n t)

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