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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 9

Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t

z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ

θ = s t 2

ϕ = s 2 t

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade. Aqui a gente precisa calcular a derivada parcial da função:

z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ

Veja que como temos uma curva parametrizada, para encontrar as derivadas pedidas:

∂ z ∂ s

E

∂ z ∂ t

Deveremos utilizar a seguinte forma da regra da cadeia:

∂ z ∂ s =   ∂ z ∂ θ ⋅ ∂ θ ∂ s   +   ∂ z ∂ ϕ ⋅ ∂ ϕ ∂ s

∂ z ∂ t =   ∂ z ∂ θ ⋅ ∂ θ ∂ t   +   ∂ z ∂ ϕ ⋅ ∂ ϕ ∂ t

Veja então que o nosso trabalho hoje será calcular derivadas parciais e substituir nessa equação.

Passo 2

Uma vez compreendida a maneira como a função z é composta, basta aplicarmos a regra da cadeia. Portanto:

Seja:

z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ  

Iremos aplicar a regra da cadeia para encontrarmos z s :

∂ z ∂ s =   ∂ z ∂ θ ⋅ ∂ θ ∂ s   +   ∂ z ∂ ϕ ⋅ ∂ ϕ ∂ s

∂ z ∂ s = ∂ ∂ θ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ ⋅ ∂ ∂ s s t 2 + ∂ ∂ ϕ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ ⋅ ∂ ∂ s s 2 t

Agora vamos encontrar cada derivada individualmente, veja que são derivadas parciais, então a gente deriva em relação a variável e considera todas as outras como constantes:

Em relação a θ :

∂ ∂ θ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ = cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ

Em relação a s :

∂ ∂ s s t 2 = t 2

Em relação a ϕ :

∂ ∂ ϕ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ = - sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ

E agora em relação a t :

∂ ∂ t s 2 t = 2 s t

Passo 3

Sendo assim, temos que:

∂ z ∂ s = t 2 cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ - 2 s t sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ

Agora a gente vai encontrar:

∂ z ∂ t =   ∂ z ∂ θ ⋅ ∂ θ ∂ t   +   ∂ z ∂ ϕ ⋅ ∂ ϕ ∂ t

∂ z ∂ t = ∂ ∂ θ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ ⋅ ∂ ∂ t s t 2 + ∂ ∂ ϕ sin ⁡ θ ⋅ cos �� ϕ ⋅ ∂ ∂ t s 2 t

Falta apenas a gente encontrar duas derivadas parciais:

∂ ∂ t s t 2 = 2 t s

E

∂ ∂ t s 2 t = s 2

A gente termina então com:

∂ z ∂ t = 2 s t cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ - s 2 sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ

Resposta

∂ z ∂ s = t 2 cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ - 2 s t sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ

∂ z ∂ t = 2 s t cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ - s 2 sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ

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