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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 8

Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t

z = arcsin ⁡ x - y

x = s 2 + t 2

y = 1 - 2 s t

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade. Aqui a gente precisa calcular a derivada parcial da função:

z = arcsin ⁡ x - y

Veja que como temos uma curva parametrizada, para encontrar as derivadas pedidas:

∂ z ∂ s

E

∂ z ∂ t

Deveremos utilizar a seguinte forma da regra da cadeia:

∂ z ∂ s =   ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ s   +   ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ s

∂ z ∂ t =   ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t   +   ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

Veja então que o nosso trabalho hoje será calcular derivadas parciais e substituir nessa equação.

Passo 2

Uma vez compreendida a maneira como a função z é composta, basta aplicarmos a regra da cadeia. Portanto:

Seja:

z = arcsin ⁡ x - y

Iremos aplicar a regra da cadeia para encontrarmos z s :

∂ z ∂ s =   ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ s   +   ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ s

∂ z ∂ s = ∂ ∂ x arcsin ⁡ x - y ⋅ ∂ ∂ s s 2 + t 2 + ∂ ∂ y arcsin ⁡ x - y ⋅ ∂ ∂ s 1 - 2 s t

Agora vamos encontrar cada derivada individualmente, veja que são derivadas parciais, então a gente deriva em relação a variável e considera todas as outras como constantes:

Relembrando: a derivada de

a r c s i n x =   1 1 - x ²

Em relação a x :

∂ ∂ x arcsin ⁡ x - y = 1 1 - x - y 2

Em relação a s :

∂ ∂ s s 2 + t 2 = 2 s

Em relação a y :

∂ ∂ y arcsin ⁡ x - y = - 1 1 - x - y 2

E agora em relação a s :

∂ ∂ s 1 - 2 s t = - 2 t

Passo 3

Então a gente tem que:

∂ z ∂ s = 2 s 1 - x - y 2 + 2 t 1 - x - y 2

Agora a gente vai para:

∂ z ∂ t =   ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t   +   ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

∂ z ∂ t = ∂ ∂ x arcsin ⁡ x - y ⋅ ∂ ∂ t s 2 + t 2 + ∂ ∂ y arcsin ⁡ x - y ⋅ ∂ ∂ t 1 - 2 s t

A gente precisa aqui encontrar apenas as derivadas parciais em relação a t :

∂ ∂ t s 2 + t 2 = 2 t

E

∂ ∂ t 1 - 2 s t = - 2 s

E ficamos com:

∂ z ∂ t = 2 t 1 - x - y 2 + 2 s 1 - x - y 2

Resposta

∂ z ∂ s = 2 s + 2 t 1 - x - y 2

∂ z ∂ t = 2 s + 2 t 1 - x - y 2

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Use a Regra da Cadeia para encontrar a derivada parcial indicada. T = v 2 u + v u = p q r v = p q r ∂ T ∂ p; ∂ T ∂ q; ∂ T ∂ r Quando: p = 2; q = 1; r = 4