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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 47

Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite:

lim x → 0   ⁡ x - s e n   x   x   t g   x  

Passo 1

A regra de L’Hôpital estabelece que para limites indeterminados, temos que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )   . Então, vamos verificar a indeterminação primeiro.

Se substituirmos o valor x = 0     ficamos com 0 0 (indeterminado). Assim, podemos derivar as duas funções e calcular o limite...

Passo 2

lim x → 0   ⁡ x - s e n   x   x   t g   x = l i m x → 0   1 - cos ⁡ x x sec 2 ⁡ x + t g   x

Derivamos de novo...

l i m x → 0   1 - cos ⁡ x x sec 2 ⁡ x + t g   x = l i m x → 0   s e n   x 2 x sec 2 ⁡ x t g   x + 2 sec 2 ⁡ x

Substituímos o valor, e...

l i m x → 0   s e n   x 2 x sec 2 ⁡ x t g   x + 2 sec 2 ⁡ x =   0 2 = 0

Prontinho😉

Resposta

lim x → 0   ⁡ x - s e n   x   x   t g   x = 0  

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Use a regra de l’Hôpital para determinar o limite abaixo: lim x → 0 ⁡ s e nx - x x 3
Use a regra de l’Hôpital para determinar o limite abaixo: lim x → - π 3 ⁡ 3 θ + π s e nθ + π 3
underset(y - 0^+)(lim) e^(- (1)/(y)) l n y
underset(x - 0)(lim) (4 - 4 e^x)/(x e^x)
underset(x - oo)(lim) ( 1 + (b)/(x) )^(k x)