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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 34

Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(v -> 2)(lim) (v^3 - 8)/(v^4 - 16)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de v na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é v = 2 e a função f (v) = (v^3 - 8)/(v^4 - 16) . Então, temos que

f ( 2 ) = (( 2 )^3 - 8)/(( 2 )^4 - 16) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver um polinômio no numerador e no denominador, vamos tentar fatorar esses polinômios.

Nesse caso, precisamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador. Vamos começar pelo denominador.

Vamos combinar que sempre que tivermos um polinômio do 4º grau, vamos primeiro ver se não tem como colocar nenhum termo em evidência! Nesse caso não tem nada a ser colocado em evidência, então a 2ª coisa a tentar é ver se não temos diferença de quadrados.

Nesse caso, temos que

v^4 - 16 = (v^2)^2 - 4^2 = ( v^2 - 4 ) ( v^2 + 4 )

Precisamos sempre verificar se o resultado está totalmente fatorado. O termo v^2 - 4 também é a diferença entre dois quadrados, então podemos fatorar ainda mais

v^4 - 16 = (v^2 - 4) (v^2 + 4) = ( v + 2 ) ( v - 2 ) ( v^2 + 4 )

Pronto, já fatoramos!

Passo 4

Agora vamos analisar o numerado v^3 - 8 . Quando tivermos um polinômio de grau 3, também vamos tentar primeiro colocar algum termo em evidência! MAS, novamente não tem nada a ser colocado em evidencia nesse caso. Vamos tentar então a diferença entre cubos.

Talvez você não lembre desse caso de fatoração, então estou escrevendo ele aqui pra você:

a^3 - b^3 = ( a - b ) ( a^2 + a b + b^2 )

Comparando as expressões temos que a = v e b = 2 , então

v^3 - 8 = v^3 - 2^3 = ( v - 2 ) ( v^2 + 2 v + 4 )

Passo 5

Vamos juntar tudo então

underset(v -> 2)(lim) (v^3 - 8)/(v^4 - 16) = underset(v -> 2)(lim) (( v - 2 ) ( v^2 + 2 v + 4 ))/(( v + 2 ) ( v - 2 ) ( v^2 + 4 )) = underset(v -> 2)(lim) (( v^2 + 2 v + 4 ))/(( v + 2 ) ( v^2 + 4 ))

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

underset(v -> 2)(lim) ((v^2 + 2 v + 4))/((v + 2) (v^2 + 4)) = (2^2 + 2.2 + 4)/((2 + 2) (2^2 + 4)) = (4 + 4 + 4)/((4) (4 + 4)) = (12)/(32) = (3)/(8)

Resposta

underset(v -> 2)(lim) (v^3 - 8)/(v^4 - 16) = (3)/(8)

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