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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 38

Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite:

lim x → 0 + ⁡ ( ln ⁡ x - ln ⁡ s e n   x )

Passo 1

A regra de L’Hôpital estabelece que para limites indeterminados, temos que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )   . Então, vamos verificar a indeterminação primeiro.

Primeiro, vamos reescrever o limite, usando as propriedades do logaritmo:

lim x → 0 + ⁡ ( ln ⁡ x - ln ⁡ s e n   x ) =   lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x s e n   x = ln ⁡ l i m x → 0 + x s e n   x

Se substituirmos o valor x = 0     ficamos com 0 0 (indeterminado). Assim, podemos derivar as duas funções e calcular o limite...

Passo 2

ln ⁡ l i m x → 0 + x s e n   x = ln ⁡ l i m x → 0 + 1 cos ⁡ x

Substituímos o valor, e...

ln ⁡ l i m x → 0 + 1 cos ⁡ x = ln ⁡ 1 1 = ln ⁡ 1 =   0  

E... Pronto😉

Resposta

lim x → 0 + ⁡ ( ln ⁡ x - ln ⁡ s e n   x ) = 0

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