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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 26

Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral. Divida B em oito subcaixas de tamanho igual.

∭ B x e x y z d V

Onde B = x , y , z | 0 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 2 .

Passo 1

Fala, gente legal! Tudo belezal?

Olha só, a questão pede pra usar a Regra do Ponto Médio para estimar o valor dessa integral aqui:

∭ B x e x y z d V

Onde já nos deram informações sobre a região B que estamos calculando, ou seja, já temos nossos limites de integração:

B = x , y , z | 0 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 2

Precisamos, como se pede, dividir B em oito subcaixas de tamanho igual.

Sinistrooo!

Vamos começar relembrando Regra do Ponto Médio.

A ideia é como ter um bolo enorme e quer saber quanto ele pesa, ou qual seu volume, e etc. Certo?

Então vamos cortar esse bolo em cubinhos num ponto bem ao meio dele. E assim representar o peso de todos os cubinhos, e se a gente somar tudo, vamos ter uma estimativa de quanto pesaria esse bolo.

Para utilizarmos, precisamos fazer esse somatório:

∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∑ k = 1 o f x - i , y - j , z - k Δ V

Onde x - i , y - j , z - k representam os pontos médios, e m ,   n ,   o representam a subdivisão dos eixos.

Passo 2

Vamos começar dividindo o nosso sólido em 8 partes iguais.

Logo, precisamos subdividir cada um dos intervalos x , y e z em 2 partes.

∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 ∑ k = 1 2 f x - i , y - j , z - k Δ V

Pegando o ponto médio de cada uma dessas regiões, temos os seguintes pontos:

A = 1 ,   0.25 ,   0.5

B = 1 ,   0.25 ,   1.5

C = 1 ,   0.75 ,   0.5

D = 1,0.75 ,   1.5

E = 3 ,   0.25 ,   0.5

F = 3 ,   0.25 ,   1.5

G = 3 ,   0.75 ,   0.5

H = 3 ,   0.75 ,   1.5

Vamos calcular o valor da função em cada um destes pontos e multiplicar pelo volume da caixa, o qual é dado por:

Δ V = 2 ⋅ 0.5 ⋅ 1 = 1

Passo 3

Vamos então fazer o produto da função f x , y , z pelo Δ V para cada um dos pontos. Desta forma, temos:

1 e 1 ⋅ 0.25 ⋅ 0.5 ⋅ 1 = 1,13314

1 e 1 ⋅ 0.25 ⋅ 1.5 ⋅ 1 = 1,45499

1 e 1 ⋅ 0.75 ⋅ 0.5 ⋅ 1 = 1,45499

1 e 1 ⋅ 0.75 ⋅ 1.5 ⋅ 1 = 3,08021

3 e 3 ⋅ 0.25 ⋅ 0.5 ⋅ 1 = 2,52011

3 e 3 ⋅ 0.25 ⋅ 1.5 ⋅ 1 = 5,33509

3 e 3 ⋅ 0.75 ⋅ 0.5 ⋅ 1 = 5,33509

3 e 3 ⋅ 0.75 ⋅ 1.5 ⋅ 1 = 50,61794

Portanto, o valor final é dado pelo somatório de cada um destes resultados, o qual é:

∭ B x e x y z d V ≈ 70,93159

Resposta

∭ B x e x y z d V ≈ 70,93159

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