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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 20

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

O sólido limitado pelos paraboloides y = x 2 + z 2 e y = 8 - x 2 - z 2

Passo 1

Precisamos entender primeiramente qual o domínio que estamos trabalhando. Como nossos paraboloides possuem eixo de simetria o eixo y (é ele quem não está elevado ao quadrado), teremos que integrar primeiro em relação a y .

Isto decorre do fato que temos uma região do tipo III (limitada a esquerda por uma superfície e a direita por outra superfície). Portanto, temos:

x 2 + z 2 ≤ y ≤ 8 - x 2 - z 2

Agora, precisamos entender o comportamento da região no plano x z . Para isto, vamos igualar o valor de y em ambas as curvas e estudar a interseção delas! Logo,

x 2 + z 2 = 8 - x 2 - z 2

2 x 2 + 2 z 2 = 8

x 2 + z 2 = 4

Logo, temos uma circunferência de raio 2 centrada na origem! Portanto, temos que resolver a seguinte integral:

V o l u m e = ∭ E d V = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ∫ x 2 + 2 8 - x 2 - z 2 1   d y d z d x

Observem que, no plano x z temos um círculo. Vamos escrever então, ao invés de coordenadas x e z , no sistema de coordenadas polares. Portanto,

x = 2 cos ⁡ θ

z = 2 sen ⁡ θ

Fazendo esta mudança, temos a seguinte integral:

V o l u m e = ∭ E d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 8 - r 2 r   d y d r d θ

Passo 2

Precisamos começar integrando a variável y Portanto,

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 8 - r 2 r   d y d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r   y r 2 8 - r 2 d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r   8 - r 2 - r 2 d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 8 r - 2 r 3 d r d θ

Passo 3

Agora, precisamos integrar em relação a r . Logo,

∫ 0 2 π ∫ 0 2 8 r - 2 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π 4 r 2 - r 4 2 0 2 d θ

∫ 0 2 π 8 d θ

Passo 4

Por fim, basta integrarmos em relação a θ .

∫ 0 2 π 8 d θ = 16 π

Resposta

V o l u m e = 16 π

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Calcule o volume dos sólidos W descritos abaixo.h) W = x , y , z ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≥ 4 ,x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 2 ,z ≤ 3 x 2 + y 2
Calcule o volume dos sólidos W descritos abaixo.d) É limitado pelo cone z = x 2 + y 2 , pelo cilindro x 2 + y 2 - x 2 + y 2 = x e por z = 0 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 2 ∫ 0 2 - y ∫ 0 4 - y 2 d x d z d y
Determine o volume do sólido dado. Acima do paraboloide z = x 2 + y 2 e abaixo do semicone z = x 2 + y 2 .
Determine o volume do sólido dado. Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 e pelos planos z = 0ey + z = 3 .