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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.1 - Ex. 4

Verifique que, para a função de produção de Cobb-Douglas

P L , K = 1,01   L 0,75   K 0,25

discutida no Exemplo 3, a produção dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isto também é verdade para uma função de produção genérica

P L , K = b L α K 1 - α

Passo 1

Fala ai, belezinha?

Esta é uma questão de demonstração. Temos que apenas substituir na equação do enunciado o que se pede. Na questão pede-se o dobro, então é só multiplicarmos por 2 todos os termos.

Vamos começar!

Passo 2

Para analisarmos com o dobro das variáveis, temos que

P L , K = 1,01   L 0,75   K 0,25

Ao dobrarmos

P 2 L , 2 K = b ( 2 L ) α ( 2 K ) 1 - α

Utilizando a propriedade de potência

= b 2 α L α 2 1 - α K 1 - α

Isalando a potência de base 2

= b L α K 1 - α 2 α 2 1 - α

Sabendo que 2 α 2 1 - α = 2

= b L α K 1 - α 2

Voltado a equação original, em que P L , K = b L α K 1 - α

= 2   P L , K

Sendo assim, se dobrarmos as variáveis a produção também dobra

P 2 L , 2 K = 2   P L , K

Resposta

Sim, P 2 L , 2 K = 2   P L , K .

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