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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 86

No Exercício 53, na Seção 10.2, foi mostrado que o comprimento da elipse x = a sen ⁡ θ , y = b cos ⁡ θ , onde a > b > 0 , é

L = 4 a ∫ 0 π / 2 1 - e 2 sen 2 ⁡ θ d θ

Onde e = a 2 - b 2 / a é a excentricidade da elipse. Expanda o integrando como uma série binomial e use o resultado do Exercício 46, na Seção 7.1, no Volume I, para expressar L como uma série de potências da excentricidade até termos em e 6 .

Passo 1

Fala, pessoa! Tudo tranquilo?

A questã nos dá uma integral que definine o comprimento uma elipse:

L = 4 a ∫ 0 π / 2 1 - e 2 sen 2 ⁡ θ d θ

O que ela quer agora é que a gente transforme essa função que está sendo integrada:

f θ = 1 - e 2 sen 2 ⁡ θ d θ

Em uma série binominal. A série binominal é a expansão de 1 + x n , ficando assim:

1 + x n = 1 + k x + k k - 1 2 ! x 2 + k k - 1 ( k - 2 ) 3 ! x 3 + …

Outra notação também é:

1 + x n = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Depois que encontrarmos essa série vamos usar para s e n 2   θ o resultado do Exercício 46 da Seção 7.1 do volume I que concluiu que:

∫ 0 π / 2 sen 2 n ⁡ x d x = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2 n - 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ⋅ ⋅ 2 n ⋅ π 2

Vamos lá.

Passo 2

Temos o integrando 1 - e 2 sen 2 ⁡ θ e vamos abrir em uma série binomial, que é da forma

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

No caso do integrando, podemos reescrevê-lo

1 - e 2 sen 2 ⁡ θ = 1 + - e 2 sen 2 ⁡ θ 1 / 2

Desta forma

1 - e 2 sen 2 ⁡ θ = ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n ( - e 2 sen 2 ⁡ θ ) n

= ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n ( - 1 ) n e 2 n sen 2 n ⁡ θ

Passo 3

Agora, para calcular a integral

∫ 0 π / 2 1 - e 2 sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π / 2 ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n ( - 1 ) n e 2 n sen 2 n ⁡ θ d θ

Temos que 1 / 2 n ( - 1 ) n e 2 n é constante em relação a variável θ , então

= ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n ( - 1 ) n e 2 n ∫ 0 π / 2 sen 2 n ⁡ θ d θ

Agora usando o resultado do exercício Exercício 46 da Seção 7.1 que concluiu que

∫ 0 π / 2 sen 2 n ⁡ x d x = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2 n - 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ⋅ ⋅ 2 n ⋅ π 2

Temos que

∫ 0 π / 2 1 - e 2 sen 2 ⁡ θ d θ = ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n ( - 1 ) n e 2 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2 n - 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ⋅ ⋅ 2 n ⋅ π 2

= π 2 ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2 n - 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ⋅ ⋅ 2 n ( - 1 ) n e 2 n

Passo 4

Retornando ao comprimento L chegamos em

L = 4 a ∫ 0 π / 2 1 - e 2 sen 2 ⁡ θ d θ

Substituindo a integral pela série binomial que a representa:

L = 4 a π 2 ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ⋅ ⋅ 2 n - 1 n e 2 n

Como o enunciado pede para expressarmos os termos até e 6 , precisaremos de 4 termos da série até n = 3

L = 4 a π 2 - π 2 ⋅ 1 2 1 ! ⋅ 1 2 e 2 + π 2 ⋅ 1 2 - 1 2 2 ! ⋅ 3 2 ⋅ 4 e 4 - π 2 ⋅ 1 2 - 1 2 - 3 2 3 ! ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 e 6 + …

Simplifiando os termos:

L = 4 a π 2 - π 8 e 2 - 3 π 128 e 4 - 5 π 512 e 6 + …

Resposta

L = 4 a π 2 - π 8 e 2 - 3 π 128 e 4 - 5 π 512 e 6 + …

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