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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 44

Use a Regra do Trapézio com n = 10 para aproximar ∫ 0 20 cos ⁡ π x d x . Compare seu resultado com o valor real. Você pode explicar a discrepância?

Passo 1

Temos o intervalo 0 ≤ x ≤ 2 0 , e vamos usar n = 10 , temos que ∆ x :

∆ x = b - a n = 20 - 0 10 = 2

Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

T 10 = 1 2 ∆ x f 0 + 2 f 2 + 2 f 4 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 16 + 2 f 18 + f 20 = 1 2 ∙ 2 cos ⁡ 0 + 2 cos ⁡ 2 π + 2 cos ⁡ 4 π + ∙ ∙ ∙ + 2 cos ⁡ 16 π + 2 f cos ⁡ 18 π + cos ⁡ 2 0 π = 1 + 2.1 + 2.1 + 2.1 + 2.1 + 2.1 + 2.1 + 2.1 + 2.1 + 2.1 + 1 = 20

Passo 2

Achando o valor real da integral:

∫ 0 20 cos ⁡ π x d x = 1 π sen ⁡ π x 0 20 = 1 π sen ⁡ 20 π - sen ⁡ 0 = 0

A discrepância de deve ao fato de que a função é somente amostrada em pontos da forma 2 n , onde o valor é f 2 n = cos ⁡ 2 n π = 1

Resposta

T 10 = 20

A discrepância de deve ao fato de que a função é somente amostrada em pontos da forma 2 n , onde o valor é f 2 n = cos ⁡ 2 n π = 1

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