Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.

∫ 0 1 cos ⁡ ( x 3 ) d x

(três casas decimais)

Passo 1

Eai, tudo bem pessoal? Bora lá resolver a questão?

Vamos compreender o enunciado. Precisamos a partir de series fazer uma aproximação da integral definida, com uma precisão de três casas decimais.

Como vamos fazer isso? Vamos consultar e lembrar qual a série de Maclaurin representa a função que está na integral. Feito isso, fazemos os ajustes necessários na série para atender a expressão cos ⁡ x 3 . Na sequência substituímos a função que está na integral pela serie equivalente e realizamos a etapa de integração e aplicação dos limites.

Feito isso? Faço o que?

Lembra que ate então encontramos a função somatório, mas precisamos achar a resposta com três casas decimais, correto? Então vamos expandir a serie fazendo n = 0 ;   n = 1 ;   n = 2 … . . até observamos um valor que está dentro das três casas decimais.

Passo 2

Na tabela 1 de series de Maclaurin temos que a série para cos ⁡ x é

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Como nosso termo é cos ⁡ x 3 , precisamos ajustar a série colocando no lugar de x , o x 3

Ficando:

cos ⁡ ( x 3 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n 2 n !

Então, na nossa integral

∫ 0 1 cos ⁡ ( x 3 ) d x = ∫ 0 1 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n 2 n ! d x

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n + 1 6 n + 1 2 n ! 0 1

Para achar a estimativa correta dentro da precisão pedida, precisamos expandir a série e acharmos o primeiro termo que seja em módulo < 0,0001 , de modo que não afeta a terceira casa decimal, então

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n + 1 6 n + 1 2 n ! 0 1 = 1 - 1 14 + 1 312 - 1 13680 + …

Temos que 1 13680 = 0,00007 … então podemos usar só os três primeiros termos para uma aproximação com 3 casas decimais, então

∫ 0 1 cos ⁡ ( x 3 ) d x ≈ 1 - 1 14 + 1 312 = 0.932

Resposta

∫ 0 1 cos ⁡ ( x 3 ) d x ≈ 0.932

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