Enunciado

Use o resultado do Problema 34 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.

f ( t )   =   1 ,   0 ≤ t < 1

f ( t ) =   - 1 ,   1 ≤ t < 2 ;

f ( t + 2 )   =   f ( t )

função f ( t )

Passo 1

Para uma função que se repete periodicamente a cada unidade T, a transformação Laplace é:

ℒ { f ( t ) } = ∫ 0 T e - s t f ( t ) d t 1 - e - s T

Passo 2

Nesse problema, o período é T = 2. Portanto,

ℒ { f ( t ) } = ∫ 0 2 e - s t f ( t ) d t 1 - e - 2 s = ∫ 0 1 e - s t ( 1 ) d t + ∫ 1 2 e - s t ( - 1 ) d t 1 - e - 2 s

Resolvendo as integrais, chegamos em:

ℒ { f ( t ) } = 1 - 2 e - s + e - 2 s s ( 1 - e - 2 s ) = ( 1 - e - s ) 2 s ( 1 + e - s ) ( 1 - e - s ) = 1 - e - s s ( 1 + e - s )

Resposta

ℒ { f ( t ) } = 1 - e - s s ( 1 + e - s )

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