Exercícios de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac - Lista de Exercícios Resolvida

Resolva

Encontre a solução do problema de valor inicial dado

Considere a função

Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI)

Justifique sua resposta.

Encontre a solução da EDO

Dada a equação diferencial de segunda ordem ,

(c) Resolva o problema de valor inicial

Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial

onde é a “função” delta de Dirac com singularidade em 1.

Seja

1. Calcule a transformada de Laplace de .
2. Resolva o seguinte problema de valor inicial:

Resolva utilizando Transformada de Laplace

Sendo a função dada por

Consideramos uma mola elástica fixada por uma de suas extremidades e que possa vibrar na vertical. Suponhamos que um corpo de massa quilograma esteja preso à extremidade inferior da mola, que a constante elástica da mola seja e que no instante o sistema esteja submetido a uma força periódica . No instante , o sistema massa-mola recebe por baixo um golpe brusco que comunida instantaneamente unidades de momento ao sistema. Usando a segunda lei de Newton e o eixo convenientemente posicionado, somos levados à seguinte equação do movimento

Supondo as condições iniciais , determine o movimento do sistema.

Seja a Transformada de Laplace e a transformada inversa.

1. Calcule .
2. Resolva o seguinte problema de valores iniciais:

Encontre a solução do problema de valor inicial

Onde a função

1. Escreva utilizando funções degrau e calcule a sua transforma de Laplace,
2. Encontre a solução da seguinte p.v.i. utilizando o método de transformadas de Laplace:

Onde e e é dada no item

Questão 2: Considere a equação diferencial de segunda ordem. Homogênea,

B - Encontre a solução do problema de valor inicial,

Resolva o problema de valor inicial

Onde é a função definida por

Resolva o problema de valor inicial

Onde é a função definida por

Resolva o problema de valor inicial:

Resolve o seguinte problema por transformada de Laplace

Seja (a transformada de Laplace da função ) onde

Mostre que

(Não precisa calcular essa derivada. Note que .

Calcule a solução do PVI

Em termos de uma convolução, onde é a função definida no item .

Sugestão: não calcule . Faça as contas escrevendo .

Considere a equação diferencial de segunda ordem, homogênea,

Encontre a solução do problema de valor inicial,

Considere a função

Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI)

Justifique sua resposta.

Resolver o problema de valores iniciais:

Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.

Resolva o problema de valor inicial

Onde é a função de degrau unitário com

Resolva o problema de valor inicial

Resolva o problema de valor inicial

Seja a função definida por

Resolva o seguinte problema de valor inicial

Utilizando a transformada de Laplace, resolva o dado por :

E condições iniciais e , sendo .

Resolve o problema de valor inicial:

Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do seguinte problema de valor inicial:

Questão 4: Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do problema

Onde é a função degrau unitário com singularidade em e é a função delta de Dirac com singularidade em .

Questão 3: Resolva o problema de valor inicial:

Questão 3: Resolva o problema de valor inicial:

Questão 2:

Encontre a solução geral da seguinte equação para :

Na dependência com o tempo . Dica Opcional: Use o princípio de superposição e a transformação de Laplace.

Resolva o problema de valor inicial simbólico dado

Dicas: Para achar , lembre que .

Resolva o problema de valor inicial

onde

Resolva o PVI:

usando transformada de Laplace.

Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:

Onde e

Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:

onde e .

Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:

Onde e .

Use transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:

Onde é nula exceto em , onde vale .

Considere o PVI dado por

onde é uma constante real.

a) Resolva tal problema usando transformadas de Laplace. Simplifique sua solução ao máximo em cada uma das regiões dadas por e .

b) Tome agora , onde é a constante de Euler. Resolva tal PVI no Mathematica (ou Wolfram) pelo método que você preferir e faça o gráfico de sua solução. Qual é o máximo valor (aproximadamente) assumido por sua solução?

Considere o PVI dado por , ,

(a) Resolva tal problema usando transformadas de Laplace. Simplifique sua solução ao máximo em cada uma das regiões dadas por e . Esboce o gráfico da sua solução à mão. (Justifique detalhadamente os passos de sua solução. Há uma tabela de transformadas na folha seguinte.)

(b) (1 ponto) Considere agora o PVI dado por , , . É possível encontrar e tais que esta solução seja, para , igual à solução do item (a)? Se sim, encontre tais e

Seja a solução do PVI:

Considere as seguintes afirmações:

(I) A solução tem período .

(II) não existe.

Escolha uma solução:

a) Somente a afirmação (I) é verdadeira

b) As duas afirmações são verdadeiras

c) As duas afirmações são falsas

d) Somente a afirmação (II) é verdadeira

Encontre a solução do problema de valor inicial dado

Resolva* por transformada de Laplace o seguinte P.V.I.:

*Fórmula que pode ser útil:

Encontre a solução do problema de valor inicial onde

Resolva o problema de valor inicial

Aqui, é uma função descontínua definida como:

Dicas: Para achar , use a identidade , lembre o que é e use que .

Resolva pelo método de Laplace o problema de valor inicial com condições iniciais nulas

Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:

Utilizando a transformada de Laplace, resolva o PVI

Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.

Resolva o problema de valor inicial com condições iniciais nulas

Onde é a função delta de Dirac. Obtenha soluções usando transformadas de Laplace.

Use transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:

(2,5 pts) Resolva o PVI

Use a transformada de Laplace para encontrar a solução do problema de valor inicial:

Questão 1. Resolva os problemas de valor inicial:

2.

Questão 1. Resolva os problemas de valor inicial:

1.