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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 28

Use os resultados do Problema 25 para encontrar a transformada de Laplace inversa da função dada.

F ( s ) = 1 9 s 2 - 12 s + 3

Passo 1

Observe que o denominador pode ser escrito em termos de 3s

F ( s ) = 1 ( 3 s ) 2 - 4 ( 3 s )   +   3

E então, fatore o denominador:

F ( s ) = 1 [ ( 3 s ) - 1 ] [ ( 3 s ) - 3 ]

Passo 2

Decomponha em frações parciais:

F ( s )   =   - 1 2 ( 3 s ) - 1 + 1 2 ( 3 s )   -   3

E aplique as duas transformadas:,

ℒ { e a t } = 1 s   -   a   e   F ( k s ) = ℒ { 1 k f ( t k ) }

Chegando em:

f ( t ) = ℒ - 1 { F ( s ) } =   - 1 2 ( 1 3 e t / 3 ) + 1 2 ( 1 3 e 3 t / 3 ) =   - 1 6 e t / 3 + 1 6 e t = 1 6 ( e t - e t / 3 )

Resposta

f ( t ) = 1 6 ( e t - e t / 3 )

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