Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x / (x - 1)

Passo 1

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.

y = x x - 1

Assim, precisaremos encontrar:

O domínio da função, que são os valores que o x pode assumir.

As interseções com eixos, que são os valores de x quando y = 0 e de y quando x = 0 .

Limites no infinito, onde faremos:

lim x → ± ∞ ⁡ x x - 1

Intervalos de crescimento e os pontos críticos, onde analisaremos o sinal da derivada da função, fazendo:

Fazer um estuda da concavidade

E qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Então vem ver tudo isso.

Passo 2

Vamos começar procurando o domínio da função, que são os valores que o x pode assumir.

Perceba que sendo nossa função dada por:

y = x x - 1

O denominador não pode se anular. Então, devemos ter

x - 1 ≠ 0

Assim,

x ≠ 1

Desta forma, o domínio da função

D f = R - { 1 }

Passo 3

Para encontrar as interseção com eixos, vamos procurar os valores de x quando y = 0 e de y quando x = 0 .

Assim, no eixo y , teremos:

y = 0 0 - 1 = 0

E no eixo x , teremos:

0 = x x - 1

O que só acontece se x = 0 .

Com isso, a única interseção com os eixos coordenados ocorre em ( 0,0 ) .

Passo 4

Vamos ver se a função é par ou ímpar.

Se

f - x = f x → f u n ç ã o   p a r

Se

f - x = - f x → f u n ç ã o   í m p a r

Então trocando x por - x :

f - x = - x - x - 1

- x - x + 1 = x x + 1

E vemos que

f - x ≠ ± f ( x )

Assim, a função não é nem par nem ímpar!

Passo 5

Vamos agora procurar possíveis assíntotas. Para x indo para ± ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ x x - 1 = lim x → + ∞ ⁡ x x - 1 = 1

Assim, tanto para - ∞ como para + ∞ , a reta y = 1 é assíntota horizontal da função.

Como x = 1 não está no domínio da função, vamos ver se a função tem assíntota vertical nele. Fazendo os limites laterais:

lim x → 1 - ⁡ x x - 1 = 1 0 - = - ∞

lim x → 1 + ⁡ x x - 1 = 1 0 + = + ∞

Desta forma, a reta x = 1 é assíntota vertical.

Passo 6

Vamos estudar agora os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Calculando a primeira derivada:

y ' = 1 ⋅ x - 1 - x ⋅ 1 x - 1 2 = - 1 x - 1 2

Como

x - 1 2 > 0

no domínio da função,

y ' < 0

de modo que a curva é sempre descrescente. Além disso, como

y ' ≠ 0

a curva não tem pontos críticos.

Passo 7

Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:

y ' ' = - x - 1 - 2 '

y ' ' = 2   x - 1 - 3 ⋅ 1 = 2 x - 1 3

Como o expoente é ímpar, o denominador pode ser tanto positivo como negativo:

A curva não tem pontos de inflexão por x = 1 não está em seu domínio.

O esboço da curva:

Resposta

O esboço da curva:

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