Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 50

Encontre a primeira e a segunda derivadas da função.

y = e e x

Passo 1

E aí, galerinha! 😎

Nesse problema foi pedido pra calcularmos a primeira e a segunda derivada de uma função muito doidona

y = e e x

Tem ideia de como fazemos isso? 👀

A primeira coisa que podemos observar da função é que x está no expoente. Assim para calcular a derivada dessa função temos que usar a regra da função exponencial

f x = a x ,     f ' x = a x ln ⁡ a

Mas tambem podemos perceber que temos uma função composta pois temos uma função e x no expoente de e , então tambem vamos ter que aplicar a regra da cadeia...

f x = g h x ,     f ' x = h ' x g ' h x

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra da cadeia...

Se y = e e x e f x = g h x , podemos dizer que h x = e x e g h x = e h x

Portanto, aplicando a regra da cadeia, temos

y ' = d e x d x · d e h x d h x

Na segunda derivada, tratamos h x como uma variável.

y ' = d e x d x · d e h d h

Pelo teorema fundamental do calculo ou pela regra da derivação exponencial...

y ' = e x ln ⁡ e · e h ln ⁡ e

Mas se h = e x e ln ⁡ e = 1 , temos

y ' = e x e h

y ' = e x e e x

Show?

Passo 3

Agora vamos calcular a segunda derivada...

Se y ' = e x e e x vamos aplicar a regra do produto

y = f x · g x ,     y ' = f ' x · g x + f x · g ' x

Ou seja

y ' ' = d e x d x · e e x + e x · d e e x d x

No passo anterior vimos que

d e x d x = e x

d e e x d x = e x e e x

Logo...

y ' ' = e x · e e x + e x · e x e e x

y ' ' = e x e e x + e 2 x e e x

y ' ' = e x + e 2 x e e x

E aí! O que achou? Responde Aí! 😇

Resposta

y ' = e e x e x

y ' ' = e x + e 2 x e e x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 16, ache a derivada da função dada. 12 . F x = 4 x 4 - 4 x 2 + 1 - 1 3
Nos exercícios de 1 a 16, ache a derivada da função dada. 1 5 . F x = x 2 - 1 3 2 x 2 - 4 1 2
Nos exercícios de 1 a 16, ache a derivada da função dada. 13 . f x = x x 3 + 1 3
Nos exercícios de 1 a 16, ache a derivada da função dada. 16 . g x = x 4 - x - 3 5 - x 2 - 1
Nos exercícios de 1 a 16, ache a derivada da função dada. 11 . f s = 2 s 3 - 3 s + 7 4