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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 23

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = sqrt(x^2 + x - 2)

Passo 1

Nós temos a função y = f (x) = sqrt(x^2 + x - 2) = sqrt((x + 2) (x - 1))

Passo 2

  1. Nosso primeiro passo é calcular o domínio. Como nossa raiz não pode ser negativa, temos que:

    2. x >= - 2 e x >= 1

    Assim, o domínio é (- oo , - 2] uu [ 1 , oo )

  2. Agora precisamos achar os interceptos. Intercepto y : nenhum; intercepto x : f (x) = 0 , então: x = - 2 e x = 1 .

  3. f ( - x ) != f ( x ) , então a curva não é simétrica.

  4. Não há assíntotas.

  5. Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:

    6. f (x) = sqrt((x + 2) (x - 1))

    f^' (x) = (1)/(2) (x^2 + x - 2)^(- (1)/(2)) (2 x + 1) = (2 x + 1)/(2 sqrt(x^2 + x - 2))

    f^' (x) = 0

    x = - (1)/(2)

    - 1 // 2 não está no nosso domínio. f^' (x) > 0 quando x > - (1)/(2) e f^' (x) < 0 quando x < - (1)/(2) , assim, f cresce em ( 1 , oo ) , e decresce em ( - oo , - 2 ) .

  6. Como não há ponto extremo, não há máximos e mínimos locais.

  7. Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:

    8. f^(' ') (x) = (2 (x^2 + x - 2)^((1)/(2)) (2) - (2 x + 1) 2 (1)/(2) (x^2 + x - 2)^(- (1)/(2)) ( 2 x + 1 ))/((2 sqrt(x^2 + x - 2))^2)

    f^(' ') (x) = ((x^2 + x - 2)^(- (1)/(2)) [ 4 (x^2 + x - 2) - (4 x^2 + 4 x + 1) ])/(4 ( x^2 + x - 2 )) = (- 9)/(4 (x^2 + x - 2)^((3)/(2))) < 0

    Assim, a função tem concavidade para baixo em ( - oo , - 2 ) , e em ( 1 , oo ) , e não possui ponto de inflexão,

    Passo 3

  8. Esboço da função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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