Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = x / raiz(x^2 + 1)

Passo 1

Nós temos a função y = f x = x x 2 + 1

Passo 2

  1. Nosso primeiro passo é calcular o domínio. Nossa raiz precisa ser maior que zero, pois além de ser raiz, está na parte de baixo da fração, assim, mas como temos x 2 + 1 dentro dela, ela nunca será negativa, então nosso domínio são reais. D = R .
  2. Agora precisamos achar os interceptos. Intercepto y : f 0 = 0 ; intercepto x : f x = 0 , então: x x 2 + 1 = 0 ,   x = 0 .
  3. f - x = - f ( x ) , então temos uma função ímpar, e a curva é simétrica em relação à origem.
  4. Temos que:
  5. lim x → ∞ ⁡ x x 2 + 1 = lim x → ∞ ⁡ x x x 2 + 1 x = lim x → ∞ ⁡ x x x 2 + 1 x 2 = lim x → ∞ ⁡ 1 1 + 1 x 2 = 1 1 + 0 = 1

    Além disso, temos:

    lim x → - ∞ ⁡ x x 2 + 1 = lim x → - ∞ ⁡ x x x 2 + 1 x = lim x → - ∞ ⁡ x x x 2 + 1 - x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 - 1 + 1 x 2 = 1 - 1 + 0 = - 1

    Assim, em y = ± 1 temo uma assíntota horizontal.

  6. Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:
  7. f x = x x 2 + 1

    f ' x = x 2 + 1 - x 2 x 2 x 2 + 1 [ x 2 + 1 1 2 ] ² = x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 3 2 = 1 x 2 + 1 3 2 > 0

    f é maior que zero para qualquer x , assim, f é crescente em R .

  8. Como a função apenas cresce, não há valores extremos.
  9. Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:
  10. f ' ' x = - 3 2 x 2 + 1 - 5 2   2 x = - 3 x x 2 + 1 5 2

    Sendo assim, temos que f ' ' x > 0 para x < 0 , e f ' ' x < 0 para x > 0 . Assim, temos que f é côncava para cima em ( - ∞ , 0 ) e côncava para baixo em ( 0 , ∞ ) . Há um ponto de inflexão em ( 0,0 ) , que é onde a derivada troca o sinal.

    Passo 3

  11. Esboço da função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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